Zdá sa, že máte zablokovanú reklamu

Fungujeme však vďaka príjmom z reklamy a predplatného. Podporte nás povolením reklamy alebo kúpou predplatného.

Ďakujeme, že pozeráte .pod lampou. Chceli by ste na ňu prispieť?

Rýchlosť

.časopis .veda

Asi nemá veľký zmysel prieť sa o to, ktorá fyzikálna veličina je najdôležitejšia. Jednak preto, lebo základné veličiny sú vlastne všetky rovnako dôležité, a jednak preto, lebo najdôležitejšia je celkom zjavne rýchlosť.

Asi nemá veľký zmysel prieť sa o to, ktorá fyzikálna veličina je najdôležitejšia. Jednak preto, lebo základné veličiny sú vlastne všetky rovnako dôležité, a jednak preto, lebo najdôležitejšia je celkom zjavne rýchlosť.


Všetky fundamentálne fyzikálne zákony a rovnice vypovedajú o rýchlosti zmeny nejakej fyzikálnej veličiny. Newtonov zákon sily hovorí o rýchlosti zmeny rýchlosti, Maxwellove rovnice hovoria o rýchlosti zmeny elektromagnetických polí, Schrödingerova rovnica hovorí o rýchlosti zmeny takzvanej vlnovej funkcie. Rovnice akustiky hovoria o rýchlosti zmeny tlaku vzduchu, rovnice hydrodynamiky o rýchlosti zmeny rýchlosti kvapaliny, rovnica vedenia tepla o rýchlosti zmeny teploty a tak ďalej.
Vo všetkých týchto rovniciach vystupuje takzvaná okamžitá rýchlosť zmeny nejakej veličiny, čiže rýchlosť zmeny v jednom momente. No ale čo to vlastne znamená, rýchlosť zmeny v jednom momente? Veď predsa moment netrvá nijaký čas a za moment sa teda nič nezmení. Tak o akej rýchlosti je tu reč?

.zenon po prvý raz
Na to, aký ošemetný je pojem okamžitej rýchlosti, poukazuje slávny Zenonov paradox šípu: „Ak sa letiaci šíp nachádza v každom okamihu na svojom mieste, tak je v každom jednotlivom okamihu nehybný. Ak by sa totiž v nejakom okamihu pohyboval, nebol by na svojom mieste.“
Inými slovami, pohybujúci sa šíp je podľa Zenona v každom konkrétnom okamihu v skutočnosti šípom stojacim. Hovoriť o jeho rýchlosti v danom okamihu teda buď nemá vôbec nijaký zmysel, alebo musíme uznať, že táto rýchlosť je vlastne nulová.
Zenonov dva a pol tisícročia starý paradox je na jednej strane vtipným psychologickým trikom a na strane druhej hlbokou myšlienkou. Obidva tieto aspekty stoja za krátke zamyslenie.

Začnime tým trikom. Jeho vtip spočíva v tom, že naše predstavy nie sú nekonečne rýchle, že každá z nich trvá určitý čas. Ak si teda máme predstaviť šíp na nejakom konkrétnom mieste, predstavujeme si ho tam určitý krátky čas. Nuž ale, ak je vec nejaký čas na tom istom mieste, tak sa naozaj nehýbe. Neexistencia pohybu respektíve nulová rýchlosť tohto pohybu tu nie je vlastnosťou jedného okamihu, ale vlastnosťou krátkeho časového intervalu, ktorým sme okamih v našich predstavách nahradili. Lenže toto nahradenie nie je korektné (pohyb sme v ňom nahradili pokojom) a celý paradox je v skutočnosti dôsledkom tejto nekorektnosti.
Fajn, a teraz k tej myšlienke. Jej hĺbka spočíva v podstate v tom istom, v čom spočíval trik – v našej neschopnosti predstaviť si okamih. Ide o to, že túto svoju neschopnosť si väčšinou vôbec neuvedomujeme. Čas si bežne predstavujeme ako niečo, čo sa skladá z okamihov a  pritom nám vôbec neprekáža, že samotný okamih si predstaviť nevieme. Čosi podobné robíme v geometrii, kde si úsečku predstavujeme ako niečo, čo sa skladá z bodov, ale body si v skutočnosti predstaviť nevieme – vždy si ich prestavujeme ako malé bodky, ktoré majú určitý rozmer. Predstava času skladajúceho sa z okamihov a úsečky skladajúcej sa z bodov pritom patria k tým najzákladnejším vo fyzike a matematike. Paradox šípu nás upozorňuje na to, že tieto predstavy sú v skutočnosti veľmi netriviálne a že intuícia nás môže pri práci s týmito predstavami poriadne povodiť za nos.
 
.zenon po druhý raz
Základný problém, na ktorý naša intuícia pri týchto predstavách narazí, je ten, že konečný časový interval sa skladá z nekonečného množstva okamihov a konečná úsečka sa skladá z nekonečného množstva bodov. Na to, aké ošemetné sú tieto skutočnosti, poukazuje slávny Zenonov paradox dichotómie: „To, čo sa pohybuje, musí najprv dospieť do polovice cesty skôr, než dospeje do konca. Ale aby to dospelo do polovice cesty, musí to najprv dospieť do polovice tejto polovice, a tak ďalej. Takže pohyb sa vlastne ani nemôže začať.“
Tento paradox poukazuje na to, že prejsť konečnú dĺžku znamená prejsť nekonečne veľa bodov, a tieto dve veci sa nám intuitívne zdajú v rozpore. Tento rozpor sa však výrazne zmierni (alebo dokonca celkom zanikne) ak si uvedomíme, že podobne ako vzdialenosť môžeme deliť aj čas. Ak sa niečo pohybuje stále rovnakou rýchlosťou, tak to do polovice cesty dospeje za polovicu času, do štvrtiny cesty to dospeje za štvrtinu času, a tak ďalej. Čím kratší úsek, tým kratší čas potrebný na jeho prekonanie.
Veľmi podobnú príchuť má aj najznámejší Zenonov paradox – ten o Achillovi a korytnačke: „Achilles, najrýchlejší z ľudí, nemôže dobehnúť korytnačku, najpomalšiu z tvorov, ak mala pred ním nejaký náskok. Najprv by totiž musel dospieť do miesta, odkiaľ korytnačka vyrazila, potom do miesta, v ktorom bola korytnačka v okamihu, keď on dospel do jej štartovacieho bodu, a tak ďalej. Takže pomalá korytnačka bude vždy o určitý kúsok vpredu.“
Aj tu sa paradox veľmi oslabí až zmizne, keď si uvedomíme, že úseky, ktoré má Achiles prekonať, sú čoraz kratšie a trvajú mu čoraz kratší čas. Ak delíme na čoraz kratšie úseky nielen vzdialenosť, ale aj čas, tak nielenže nedospejeme k nijakému závažnému paradoxu, ale dospejeme – paradoxne – k jednému z najužitočnejších pojmov celej matematiky a fyziky. Od Zenonových paradoxov k objavu tohto pojmu síce ubehli viac ako dve tisícročia, ale oplatilo sa čakať.

.newton
A to nás privádza k našej pôvodnej otázke, k otázke, čo je to vlastne okamžitá rýchlosť. Pretože práve okamžitá rýchlosť je tým nesmierne užitočným pojmom, ku ktorému svojím spôsobom vedú Zenonove paradoxy.
Vráťme sa k paradoxu dichotómie a predstavme si, že rýchlosť pohybu nie je stále rovnaká, ale že sa mení. Priemernú rýchlosť vypočítame tak, že celkovú prejdenú dráhu vydelíme časom, ktorý nám to trvalo. Priemernú rýchlosť v prvej polovici cesty dostaneme tak, že vydelíme polovicu dráhy časom, ktorý nám trvalo prejdenie tejto prvej polovice (táto rýchlosť sa môže líšiť od tej predchádzajúcej – tak to bude napríklad vtedy, ak ideme prvú polovicu cesty stovkou a druhú šesťdesiatkou). A takto môžeme pokračovať ďalej, pričom čím kratší úsek berieme, tým bližšie sa dostávame k rýchlosti, akú sme mali na začiatku celého pohybu. Ak pokračujeme s delením až do nekonečne malých intervalov, dostávame sa až k presnej hodnote rýchlosti na začiatku pohybu a práve tejto hodnote sa hovorí okamžitá rýchlosť. Vznešenejšie sa tomu hovorí derivácia polohy podľa času.
Objav derivácie (Newton a Leibniz) je jedným z najväčších objavov v histórii matematiky, a objav úlohy, akú hrá derivácia v prírodných zákonoch (Newton), je najväčším objavom v dejinách fyziky. Ešte raz a o čosi dôraznejšie: Isaac Newton je najväčším fyzikom, aký kedy žil a jeho objav úlohy, akú hrá okamžitá rýchlosť v prírodných zákonoch, je najväčším prírodovedným objavom všetkých čias. Toto tvrdenie sa môže zdať trochu príkre voči mnohým iným dôležitým veličinám, rovnako ako voči mnohým iným skvelým fyzikom, chemikom či biológom, ale v tomto prípade platí to, čo sa vravieva v súvislosti s iným velikánom svetovej vedy: „Můžete s tím nesouhlasit, můžete proti tomu dokonce i protestovat, ale to je tak všechno, co s tím můžete dělat.“
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.
.diskusia
.neprehliadnite