Zdá sa, že máte zablokovanú reklamu

Fungujeme však vďaka príjmom z reklamy a predplatného. Podporte nás povolením reklamy alebo kúpou predplatného.

Ďakujeme, že pozeráte .pod lampou. Chceli by ste na ňu prispieť?

Kvadratúra kruhu

.časopis .veda

Dejiny vedy sú dejinami vecí, ktoré sa podarili. Aspoň zvonku to tak vyzerá. Veci, ktoré sa nepodarili, upadajú rýchlo do zabudnutia a postupne miznú z kolektívnej pamäti. Ale existuje niekoľko významných výnimiek.

Kvadratúra kruhu, perpetuum mobile, kameň mudrcov. Nič z toho sa nepodarilo, a predsa o každej z týchto vecí nielenže vieme, ale dokonca ich všetky používame ako všeobecne známe príklady v bežnom jazyku. Ide o príklady niečoho nemožného – niečoho, čo by stálo za to, ale sa to jednoducho nedá.
Odkiaľ vieme, že sa to nedá? To je v jednotlivých prípadoch rôzne, ale jedno majú tie prípady spoločné: pochopenie nemožnosti príslušnej veci leží v úplných základoch nejakej významnej vednej disciplíny. Ako súvisí kvadratúra kruhu so základmi matematiky, perpetuum mobile so základmi fyziky a kameň mudrcov so základmi chémie? O tom prvom si povieme niečo teraz, o tých ďalších niekedy nabudúce.

.pravítko a kružidlo
Kvadratúra kruhu je pôvodne výsostne praktický problém: nájsť obsah zadaného kruhu. V čisto geometrickej reči to znamená nájsť štvorec s rovnakým obsahom, ako má zadaný kruh (kvadratúra kruhu znamená práve „zoštvorcovanie“ kruhu). V reči čísiel to znamená nájsť hodnotu čísla pí, pretože obsah kruhu je rovný tomuto pí krát polomer kruhu na druhú (o kvadratúre kruhu sme už v tejto rubrike písali, a to práve v súvislosti so spomínaným slávnym číslom).
Z čisto pragmatického hľadiska je tento problém dávno vyriešený. Už starovekí Babylončania a Egypťania poznali pí s celkom rozumnou presnosťou (používali hodnoty 3,125 respektíve 3,16) a dodnes v praxi často vystačíme s približnou hodnotou 3,14. Ak nás však zaujíma iba praktická stránka problému, nikdy nepochopíme ani to, čo je kvadratúra kruhu, ani to, čo je matematika.
V skutočnosti je totiž kvadratúra kruhu rýdzo teoretický problém. Ide o to, ako zostrojiť štvorec príslušný k danému kruhu po prvé úplne presne a po druhé striktne v rámci pravidiel hry. Pravidlami hry sú axiómy euklidovskej geometrie, pričom konštrukcia smie mať len konečný počet krokov a musí prebiehať len pomocou pravítka (bez mierky) a kružidla.
Všetky tie podmienky sú dôležité. Ak napríklad vynecháme podmienku konečného počtu krokov, potom je úloha ľahko riešiteľná vpisovaním 2n-uholníkov pre n idúce do nekonečna. Toto vedel Antifon už v piatom storočí pred naším letopočtom, ale Gréci mali vďaka Zenónovým paradoxom pred nekonečnom taký rešpekt, že sa mu radšej všemožne vyhýbali.
A keď namiesto pravítka a kružidla povolíme iné nástroje, tiež sa nám môže ľahko prihodiť, že z neriešiteľnej úlohy sa stane úloha riešiteľná. V tejto súvislosti bude asi zaujímavé spomenúť dve ďalšie slávne neriešiteľné úlohy antickej geometrie: trisekciu uhla (rozdeliť daný uhol na tri rovnaké časti) a zdvojenie kocky (skonštruovať kocku s objemom dvojnásobným ako má zadaná kocka).  Ak by tieto úlohy nevznikli v starovekom Grécku, s jeho tradíciou geometrie, ale v starovekom Japonsku, s jeho tradíciou origami, obidve tieto úlohy by boli riešiteľné. Naozaj, ak namiesto pravítka a kružidla povolíme používať pri konštrukcii prekladanie štvorcového papiera, riešenie sa dá dosiahnuť malým počtom krokov. Kvadratúra kruhu však odoláva aj japonskému origami.

.poučenie
Vráťme sa však k pravítku a kružidlu. Odkiaľ vieme, že pomocou týchto nástrojov sa kvadratúra kruhu urobiť nedá? Ľudia to skúšali a skúšali, ale neboli úspešní, a ak nie ste úspešní niekoľko storočí, tak vám začne dochádzať trpezlivosť a máte tendenciu vyhlásiť celú vec za neriešiteľnú. Ale v matematike to takto nefunguje. Tam vyhlásime vec za neriešiteľnú až vtedy, keď zistíme s absolútnou istotou, že riešenie neexistuje. Ako sme to zistili v prípade kvadratúry kruhu?
Kľúčovým krokom bolo novoveké spojenie starovekej gréckej geometrie a stredovekej arabskej algebry. Keď René Descartes vymyslel analytickú geometriu, dva dovtedy úplne oddelené matematické svety sa preliali jeden do druhého. Toto preliatie bolo (a dodnes je) nesmierne plodné. Mnohé dávno známe veci sa ukázali v celkom novom svetle, odhalili sa hlboké a nečakané súvislosti, objavili sa nové možnosti riešenia starých problémov. Vezmime si napríklad také kužeľosečky, t. j. priesečníky roviny s kužeľom. Kto by bol povedal, že tieto tri grécke krásavice (hyperbola, parabola a elipsa) sú vlastne to isté, ako arabské kvadratické rovnice?  Nuž, ale keď už sa to raz vyjasnilo, získali sme celkom nový pohľad na zaujímavé geometrické objekty cez zaujímavé rovnice, a naopak.
Podobné to bolo aj s ďalšími geometrickými objektmi a rovnicami. Aj iné objekty – napríklad štvorec a kruh – sa dali opísať jednoduchými algebraickými rovnicami. A mnohé základné algebraické operácie sa zasa dali realizovať ako elementárne geometrické konštrukcie.
Ako to súvisí s otázkou kvadratúry kruhu? Táto otázka sa dala previesť na otázku konštrukcie úsečky s dĺžkou pí, a to nás privádza k ešte všeobecnejšej otázke: vieme pomocou pravítka (bez mierky) a kružidla zostrojiť konečným počtom krokov úsečku ľubovoľnej zadanej dĺžky? Nuž, na geometrickú realizáciu súčtu a rozdielu netreba nič viac ako práve úsečku, takže ak máme zadanú jednotkovú dĺžku, vieme ľahko zostrojiť úsečku, ktorej dĺžka je ľubovoľné celé číslo. Podobne je to so súčinom a podielom. Na ich geometrickú realizáciu nám stačí trojuholník a pomocou jednoduchej konštrukcie vieme teda vyrobiť úsečku, ktorej dĺžka je ľubovoľné racionálne číslo (tak hovoria matematici číslam, ktoré sú podielom dvoch celých čísiel).
A ako je to s iracionálnymi číslami, t. j. číslami, ktoré nie sú podielmi celých čísiel? Existujú vôbec také čísla? Áno existujú a vedeli o nich už starí Gréci. Vedeli napríklad, že dĺžka uhlopriečky jednotkového štvorca (čo je podľa Pytagorovej vety druhá odmocnina z dvoch) je iracionálne číslo. Otázka sa nám teda posunula do novej podoby: dajú sa konečným počtom krokov skonštruovať úsečky s iracionálnymi dĺžkami?
Nuž, niektoré určite áno – napríklad spomínaná uhlopriečka má iracionálnu dĺžku. Či to však platí pre všetky iracionálne čísla, to nebolo dlho jasné. A kým to jasné nebolo, počítali matematici s možnosťou, že sa taká úsečka pre niektoré iracionálne čísla skonštruovať nedá. Dokonca vymysleli pre takéto čísla meno, aj keď nevedeli, či vôbec existujú. Nazvali ich transcendentné čísla.
Tak, a teraz to príde. Aké je číslo pí? Viac ako sto rokov po Descartovi, roku 1761, dokázal švajčiarsky matematik Johann Heinrich Lambert, že pí je iracionálne. A viac ako sto rokov po Lambertovi, v roku 1882, dokázal nemecký matematik Carl von Lindemann, že je transcendentné. Až vtedy sme sa s definitívnou platnosťou dozvedeli, že kvadratúra kruhu je naozaj nemožná.
A aké z toho plynie poučenie? Asi také, že matematika nie je zaujímavá ani tak svojou praktickou využiteľnosťou (ktorá je obrovská), ale skôr vnútornou dôležitosťou svojich problémov, nachádzaním neočakávaných hlbokých súvislostí a až fanatickým lipnutím na pravde. Máločo je na svete krajšie.
 
.nepoučenie
Nie všetci sme sa však poučili. Dodnes existujú ľudia, ktorí prichádzajú s novými a novými (v skutočnosti starými a starými) metódami kvadratúry kruhu. Všetci majú spoločné jedno: nijako nepochybujú o správnosti svojho nápadu a profesionálnych matematikov považujú za nafúkaných ignorantov. Oxfordský matematik Charles Ludwidge Dodgson, známejší pod pseudonymom Lewis Carroll, tvrdil, že presvedčiť o chybe človeka presvedčeného o tom, že vyriešil kvadratúru kruhu, je asi naozaj neriešiteľná úloha.
V skutočnosti je však na objaviteľoch kvadratúry kruhu niečo sympatické. Je to túžba, ktorá ich ženie – túžba po sláve, pre ktorú netreba príliš veľa urobiť. Takouto túžbou väčšinou oficiálne pohŕdame, ale ruku na srdce – kto z nás nemá v kútiku duše občas niečo podobné. Preto prajem všetkým objaviteľom kvadratúry kruhu, aby na druhom svete platila trochu iná geometria, v ktorej by ich metóda bola správna, neprotirečila by vlastnostiam čísla pí a dočkala sa zaslúženého uznania. Je to taká trochu iracionálna predstava transcendentna, ale mám ju rád.
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.
.diskusia
.posledné
.neprehliadnite