Zdá sa, že máte zablokovanú reklamu

Fungujeme však vďaka príjmom z reklamy a predplatného. Podporte nás povolením reklamy alebo kúpou predplatného.

Ďakujeme, že pozeráte .pod lampou. Chceli by ste na ňu prispieť?

Riemannova hypotéza

.ján Mózer .ekonomika .veda

Existuje v matematike nejaký nevyriešený problém, ktorý je považovaný za najvýznamnejší a najťažší? V podobných otázkach nebude nikdy panovať stopercentná zhoda, ale mnohí znalci by zrejme bez váhania označili za najdôležitejší otvorený problém súčasnej matematiky Riemannovu hypotézu.

V lete roku 1900 predniesol nemecký matematik David Hilbert na parížskej Sorbonne prednášku o tom, ktorých desať matematických problémov považuje za kľúčové pre ďalší rozvoj matematiky. O rok neskôr doplnil zoznam problémov o ďalších trinásť a tieto takzvané Hilbertove problémy sa tiahli ako červená niť matematikou 20. storočia.

O sto rokov neskôr vyhlásil Clayov matematický ústav – zjavne inšpirovaný Hilbertovým príkladom – sedem matematických problémov za problémy milénia a na vyriešenie každého z nich vypísal odmenu milión dolárov. Len jeden z týchto siedmich problémov sa nachádzal už na Hilbertovom zozname – len jeden z nich bol považovaný za zásadný matematický problém na začiatku ako 20., tak aj 21. storočia. Pozorný čitateľ sa určite dovtípil, že išlo o spomínanú Riemannovu hypotézu.

Čo táto hypotéza hovorí? Hovorí, že „netriviálne nulové body dzeta-funkcie majú reálnu časť rovnú jednej polovici“. Čo presne to znamená, ako to mohlo niekomu napadnúť, čím je to dôležité a prečo je to také ťažké dokázať? Skúsime k tomu niečo povedať, ale dopredu upozorňujeme, že nie je celkom realistické očakávať hlboké (ba ani plytké) pochopenie jedného z najťažších matematických problémov na základe článku v obrázkovom týždenníku. Budeme spokojní, ak sa nám podarí sprostredkovať aspoň letmý zážitok z „hudby matematických slov“. 

.leonhard Euler

Riemannovu dzeta-funkciu vymyslel Leonhard Euler. A začal celkom pozvoľna – nie s celou funkciou, ale len s jedným číslom, ktoré bolo súčtom iných čísiel. Súčet vyzeral takto: jedna plus jedna polovica plus jedna tretina plus jedna štvrtina plus jedna pätina a tak ďalej, až donekonečna. Tento súčet mal poetický názov (volal sa harmonický rad) a pozoruhodnú hodnotu (bol nekonečný). Ale najzaujímavejší na ňom bol jeho nečakaný súvis s prvočíslami.

Prvočísla sú celé čísla väčšie ako jedna, ktoré sú deliteľné (bezo zvyšku) iba jednotkou a sebou samým. Otázky týkajúce sa prvočísiel a ich štruktúry – napríklad otázky o tom, ako sú prvočísla rozložené medzi ostatnými číslami – patrili odjakživa k základným otázkam čistej matematiky. A jedným z prelomových momentov vo výskume tejto štruktúry bol práve Eulerov objav vzťahu medzi prvočíslami a harmonickým radom.

Aký to bol vzťah? Euler ukázal, že harmonický rad, ktorý je definovaný pomocou všetkých prirodzených čísiel (ako súčet ich prevrátených hodnôt), sa dá zapísať aj inak, a to len pomocou prvočísiel (ako nekonečný súčin zlomkov p/p-1, kde p postupne prebieha všetky prvočíselné hodnoty). Z tejto skutočnosti vyplývalo niekoľko významných skutočností. Napríklad to, že prvočísiel je nekonečne veľa (pretože harmonický rad je nekonečný a súčin konečného počtu konečných zlomkov nemôže byť nekonečný). 

To, že prvočísiel je nekonečne veľa, dokázal Eukleides už dvetisíc rokov pred Eulerom, ale harmonický rad ponúkol celkom nový dôkaz tejto skutočnosti. To však nebolo všetko. Euler dokázal zistiť pomocou súvisu harmonického radu s prvočíslami všelijaké celkom nové veci. Aby to však mohol urobiť, musel najprv nejako obísť ťažkosti spojené s manipuláciou s nekonečnami (to je v matematike vždy veľmi delikátna otázka). Urobil to elegantne – zovšeobecnil harmonický rad tak, že každý jeho člen umocnil na rovnaké číslo. Ak bolo toto číslo väčšie ako jedna, súčet bol konečný. Euler potom vyšetroval tieto konečné súčty a pomocou nich zistil všeličo zaujímavé.

A tak vznikla zeta-funkcia. Tá totiž nie je nič iné ako predpis, ktorý priraďuje každému číslu x súčet, ktorý dostaneme umocnením jednotlivých členov harmonického radu na toto x. Na prvý pohľad nič zvláštne, ale v skutočnosti matematicky mimoriadne výživné.

.bernhard Riemann

Eulerovu dzeta-funkciu a jej súvis s prvočíslami mimoriadne preslávil až Bernhard Riemann, konkrétne jeho jeden krátky článok. Bol to, mimochodom, jediný Riemannov článok, v ktorom sa venoval prvočíslam. A ako to už u tohto génia bolo zvykom, týkal sa úplne fundamentálneho problému a prinášal naň celkom nové pohľady.

Problém sa týkal rozloženia prvočísiel medzi ostatnými číslami, konkrétne otázky, aká je pravdepodobnosť, že náhodne zvolené veľké číslo bude prvočíslom. Riemann ukázal, že ak číslo x v dzeta-funkcii budeme považovať za komplexné, potom sa môžeme o prvočíslach dozvedieť prekvapujúco veľa nových vecí. (Poznamenajme, že komplexné čísla sú čísla typu a+b.i, kde i je zvláštne číslo, ktoré sa volá imaginárna jednotka a ktoré má tú vlastnosť, že jeho druhá mocnina je rovná mínus jednej.)

Kľúčovú úlohu v Riemannovej analýze hrali tie x, pre ktoré nadobúdala zeta-funkcia nulové hodnoty. Riemann vcelku jednoducho ukázal, že medzi tieto „nulové body“ patria všetky záporné párne čísla (tým sa hovorí triviálne nulové body) a okrem nich nekonečne veľa iných komplexných čísiel (ktorým sa hovorí netriviálne nulové body). O týchto netriviálnych nulových bodoch vyslovil Riemann vo svojom článku niekoľko pozoruhodných tvrdení, pričom dôkazy často len naznačil. No a pri najdôležitejšom z nich dôkaz dokonca ani len nenaznačil, iba skonštatoval, že by bolo veľmi fajn mať toto tvrdenie dokázané, ale že on to po niekoľkých neúspešných pokusoch zatiaľ vzdáva. Dnes tomu tvrdeniu hovoríme Riemannova hypotéza.

Riemannov článok sa stal zdrojom nesmierne plodného výskumu štruktúry prvočísiel. Veľmi veľa sme sa už dozvedeli a máme šancu, že sa dozvieme ešte podstatne viac. Ak by totiž niekto dokázal Riemannovu hypotézu, získali by sme veľmi podrobnú odpoveď na otázku, s akou pravdepodobnosťou bude náhodne zvolené veľké číslo prvočíslom. Otázkou, samozrejme, zostáva, prečo by nás malo práve toto zaujímať.

.no a čo?

Čo je zaujímavé na rozložení prvočísiel medzi ostatnými číslami? Mnoho autorov by na tomto mieste asi začalo spomínať rôzne aplikácie prvočísiel, napríklad v kryptografii, internetovej komunikácii a podobne. Ale to je len také klamanie telom. V skutočnosti je na štruktúre prvočísiel zaujímavé niečo iné. Zaujímavé je na nej to, že je zaujímavá.

Prečo? To sa nevysvetľuje ľahko. Podobne, ako sa nevysvetľuje ľahko, prečo sú zaujímavé niektoré obrazy, niektoré hudobné skladby, niektoré divadelné hry. Jeden aspekt zaujímavosti štruktúry prvočísiel sa však vysvetľuje pomerne ľahko. Ide o to, že výskum tejto štruktúry sa ukazuje byť prekvapujúco zložitý. A zložité veci sú výzvou pre dobrodružné povahy. Snaha dokázať Riemannovu hypotézu nie je nepodobná snahe zdolať Mount Everest, dostať sa na dno Mariánskej priekopy, pristáť na Marse.

A načo je to všetko dobré? Nuž, tu bude asi rozumné vrátiť sa až k Eukleidovi. Traduje sa, že jeden z adeptov štúdia geometrie sa raz Eukleida opýtal, aký bude mať z toho celého úžitok. Eukleides vraj privolal svojho otroka a prikázal mu: „Daj tomuto človeku denár, pretože on chce mať úžitok z toho, čo študuje.“

_______________________________________________________________

Riemannova zeta-funkcia, hlavná hrdinka jedného z miléniových problémov. V prvom riadku je napísaná definícia tejto funkcie v tvare nekonečného súčtu zlomkov. V druhom riadku je napísaná kľúčová vlastnosť tejto funkcie: jej rovnosť nekonečnému súčinu zlomkov, v ktorých vystupujú len prvočísla. Práve táto rovnosť je dôvodom mimoriadneho záujmu o dzeta-funkciu.

Spomínanú rovnosť si ako prvý všimol Leonhard Euler v špeciálnom prípade x = 1, a okamžite si uvedomil, že tento vzťah mu dáva do rúk silný nástroj na skúmanie prvočísiel pomocou všetkých prirodzených čísiel. Ešte silnejším sa tento nástroj stal vtedy, keď sa x mohlo spojite meniť – do výskumu prvočísiel sa tým zapojili nielen celé, ale všetky reálne čísla.

Skutočnou revolúciou však bolo až zapojenie komplexných čísiel do výskumu prvočísiel. To bolo umožnené zdanlivo nenápadným krokom Bernharda Riemanna, ktorý začal skúmať dzeta-funkciu s komplexnou premennou x. Riemanova komplexná zeta-funkcia je nádhernou ilustráciou jednoty matematiky. Matematika nepozostáva z oddelených stavieb s nápismi aritmetika, algebra, geometria, atď. Je to skôr živý organizmus s navzájom sa prepletajúcimi a oplodňujúcimi súčasťami.

Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.
.diskusia
.neprehliadnite