.vy ste pôvodne matematik, ktorý sa nejako dostal k ekonómii, alebo ekonóm, ktorý sa nejako dostal k matematike?
To prvé. Vyštudoval som aplikovanú matematiku v Prahe a veľmi som chcel ísť robiť do praxe. Myslel som si, že skončím v Škodovke, alebo podobne, kde budem robiť nejaké matematické modely. Lenže práve vtedy výrobný sektor vôbec nefungoval. Takže keď otvorili v Prahe na Karlovej univerzite CERGE, čo je vlastne postgraduálny program v ekonómii, tak som sa prihlásil. Bolo to celé v angličtine, to bol pre mňa významný motivačný prvok, a okrem toho tam boli dobré štipendiá. Štúdium v Prahe bolo kvalitné, ale písal sa rok 1995, nebolo veľa príležitostí vycestovať, a ja som chcel ísť ďalej na západ. Našťastie som vtedy dostal viac-menej náhodou štipendium z EÚ a mohol som ísť robiť doktorát do Británie.
.to bol doktorát z ekonómie?
Áno, ale mňa to vždy ťahalo smerom k finančnej matematike a v jej rámci k použitiu náhodných procesov a pravdepodobnosti. Takže ku koncu som čoraz viac pracoval so Stewartom Hodgesom, ktorý sa zaoberal matematickým modelovaním obchodovania na finančných trhoch. Po získaní doktorátu z ekonómie ma doma čakala vojna, tak som namiesto návratu domov hľadal prácu v Británii. Začal som prednášať základy finančnej matematiky na Imperial College v Londýne. Bolo to zaujímavé, pretože aplikovaná matematika je pedagogicky veľmi vďačná. Aplikácie matematiky v reálnom svete študentom veľmi pomáhajú preniknúť do rôznych oblastí matematiky.
.no a tým sa dostávame k základnej otázke tohto rozhovoru: opisuje tá matematika naozaj reálny svet?
To, čo v tejto súvislosti nazývam reálnym svetom, je, samozrejme, veľmi štylizovaný svet. Ale vystupujú v ňom nejaké akcie a cenné papiere, tie existujú aj v skutočnom svete, a keďže študentov zaujíma obchodovanie s akciami v skutočnom svete, tak sa celkom ochotne zaoberajú aj matematickým obchodovaním s akciami v rámci nejakého jednoduchého modelu v tom štylizovanom svete.
.fajn, lenže koľko z tých študentov si uvedomuje, že ak sa učia takúto matematiku, tak sa učia o štylizovanom svete a nie o tomto svete?
Na začiatku si podľa mňa všetci myslia, že toto je ten svätý grál, že toto je to tajomstvo fungovania sveta. Viera v matematiku naozaj vedie k tomu, že to, čo je matematicky popísané, sa automaticky považuje za správne a nezostreliteľné. Na začiatku majú tento pocit asi všetci. Ale verím, že na konci mojej prednášky tí, ktorí sú ochotní načúvať a premýšľať, už tento pocit nemajú.
.prečo by ho už nemali mať?
Napríklad preto, lebo im ukážem zlyhanie matematického modelu na jednom konkrétnom príklade, a to na príklade oceňovania opcií. V roku 1900 vymyslel Louis Bachelier prvý matematický model pre ceny akcií na parížskej burze. Išlo v podstate o Brownov pohyb a jedným z jeho nedostatkov bolo, že akcie v ňom mohli nadobúdať aj záporné ceny, čo nezodpovedá realite. V 60. rokoch upravil tento model Paul Samuelson na geometrický Brownov pohyb, pri ktorom sú ceny kladné a tento model sa stal akýmsi kanonickým modelom, na ktorom sa tie veci dodnes učia. V roku 1973 ukázali Fischer Black a Myron Scholes v rámci tohto modelu veľmi prekvapujúcu vec. V podstate išlo o to, že ak banky môžu robiť nepretržité obchody, dokážu predávať rôzne deriváty, ako sú opcie, bez akéhokoľvek rizika. Toto je výsledok, ktorý sa úplne prieči ekonomickej intuícii a Black mu preto nikdy neveril. A ja svojim študentom ukazujem, že tento výsledok je naozaj nezmyselný.
.ako to ukazujete?
Ide o to, že v skutočnosti sa ceny akcií nesprávajú tak, ako to predpokladá Samuelsonov model. Keď Samuelsonov model nahradíme niečím realistickejším, tzv. geometrickým Lévyho procesom, tak sa ukáže, že bezrizikové obchody pre banky neexistujú. Tam, kde v Black-Scholesovom modeli vychádza nulové riziko, dostaneme odrazu nenulové a nezanedbateľné riziko.
.ale nevznikne v študentoch dojem, že hľadaným svätým grálom je ten opravený model?
Nemal by, pretože ja nepredstieram, že my máme naozaj realistický model. Len im ukazujem, že výsledky sú citlivé na predpoklady. A ak trochu zmeníme predpoklady, môžu sa mi zásadne zmeniť výsledky.
.moment, ale nepoužívajú banky dodnes Black-Scholesov model pri oceňovaní finančných derivátov?
Bankám vyhovuje, ak nejaký matematický model tvrdí, že mnohé ich aktivity sú v podstate bezrizikové. Rizikové aktivity totiž znamenajú potrebu vytvárať kapitálové rezervy a kapitál je drahý. Každé oddelenie v banke má motiváciu bagatelizovať mieru rizika, ktoré podstupuje. Keď to krachne, tak škodu zaplatí daňový poplatník.
.toto vyzerá ako dokonalý príklad zhubného pôsobenia matematiky v ekonómii. Vznešene vyzerajúci matematický model je ospravedlnením nezodpovedného ekonomického správania.
Ale nemožno z toho viniť matematikov ani ekonómov. Black a Scholes len preskúmali vlastnosti modelu, ktorý bol vtedy veľmi populárny. A urobili to úplne poctivo. Rovnako my sa teraz snažíme byť vedecky poctiví, keď ukazujeme, že bezrizikovosť tohto modelu je z hľadiska reálneho sveta iluzórna.
.a toto zas vyzerá ako príklad terapeutických schopností matematiky, ktorá dokáže jasne identifikovať chybu v doterajšom myslení a pokúsiť sa ju opraviť. Mám to teda chápať tak, že zneužitie matematiky v ekonómii sa možno dá liečiť lepšou a poctivejšou matematikou?
To je, samozrejme, pravda, ale ono to ide hlbšie. Podľa mňa banky v zásade nepotrebujú takýto sofistikovaný matematický aparát. Ony by si to riziko nejakým spôsobom vedeli vyčísliť aj na kolene. Problém je v tom, že majú motiváciu celé riziko čo najlepšie schovať. A kým sa toto nevyrieši, tak investičný bankový sektor nemôže dobre fungovať.
.ale aby som sa vrátil k matematike: čo ak je to tak, že ani ten vylepšený model nepostihuje realitu dostatočne verne?
Podstatné je aby sa dôležité veličiny zachytili aspoň rádovo. V citovanom prípade sa z nulového rizika stalo významné nenulové riziko, na ktoré máme pomerne jednoduchý vzorec. Otvorená otázka je, či iné modely prinesú rádovo odlišné odhady tohto rizika. Tu sa výskum ešte neskončil.
.takže aká je vlastne úloha matematiky v ekonómii?
Vhodne použitá matematika prináša transparentnosť. Napríklad popis finančného derivátu je zložitý právnický dokument, kde je na niekoľkých stranách rozpísané slovne to, čo sa matematickým vzorcom dá napísať na jeden riadok. Matematika by však nemala byť samoúčelná. Predpovedanie vzdialenej budúcnosti pomocou matematických modelov nie je oveľa lepšie ako hádanie z vnútorností alebo kávovej usadeniny.
.a je teda matematika v ekonómii naozaj potrebná?
Najpotrebnejší je zdravý sedliacky rozum. Matematici sú schopní dodať aparát, ktorý môže modelové výpočty zrýchliť, zjednodušiť a prehľadne popísať. Sami vám však nepovedia, či ste nezabudli na niečo dôležité, na to potrebujete dobrého ekonóma.
Aleš Černý/
je slovenský finančný matematik. Doktorát z ekonómie získal na University of Warwick, sedem rokov prednášal na Imperial College London, v súčasnosti je profesorom na Cass Business School, City University London. S podporou programu „Hosťujúci profesor" Nadácie VÚB pôsobil v zimnom semestri akademického roku 2010/2011 na FMFI UK.
To prvé. Vyštudoval som aplikovanú matematiku v Prahe a veľmi som chcel ísť robiť do praxe. Myslel som si, že skončím v Škodovke, alebo podobne, kde budem robiť nejaké matematické modely. Lenže práve vtedy výrobný sektor vôbec nefungoval. Takže keď otvorili v Prahe na Karlovej univerzite CERGE, čo je vlastne postgraduálny program v ekonómii, tak som sa prihlásil. Bolo to celé v angličtine, to bol pre mňa významný motivačný prvok, a okrem toho tam boli dobré štipendiá. Štúdium v Prahe bolo kvalitné, ale písal sa rok 1995, nebolo veľa príležitostí vycestovať, a ja som chcel ísť ďalej na západ. Našťastie som vtedy dostal viac-menej náhodou štipendium z EÚ a mohol som ísť robiť doktorát do Británie.
.to bol doktorát z ekonómie?
Áno, ale mňa to vždy ťahalo smerom k finančnej matematike a v jej rámci k použitiu náhodných procesov a pravdepodobnosti. Takže ku koncu som čoraz viac pracoval so Stewartom Hodgesom, ktorý sa zaoberal matematickým modelovaním obchodovania na finančných trhoch. Po získaní doktorátu z ekonómie ma doma čakala vojna, tak som namiesto návratu domov hľadal prácu v Británii. Začal som prednášať základy finančnej matematiky na Imperial College v Londýne. Bolo to zaujímavé, pretože aplikovaná matematika je pedagogicky veľmi vďačná. Aplikácie matematiky v reálnom svete študentom veľmi pomáhajú preniknúť do rôznych oblastí matematiky.
.no a tým sa dostávame k základnej otázke tohto rozhovoru: opisuje tá matematika naozaj reálny svet?
To, čo v tejto súvislosti nazývam reálnym svetom, je, samozrejme, veľmi štylizovaný svet. Ale vystupujú v ňom nejaké akcie a cenné papiere, tie existujú aj v skutočnom svete, a keďže študentov zaujíma obchodovanie s akciami v skutočnom svete, tak sa celkom ochotne zaoberajú aj matematickým obchodovaním s akciami v rámci nejakého jednoduchého modelu v tom štylizovanom svete.
.fajn, lenže koľko z tých študentov si uvedomuje, že ak sa učia takúto matematiku, tak sa učia o štylizovanom svete a nie o tomto svete?
Na začiatku si podľa mňa všetci myslia, že toto je ten svätý grál, že toto je to tajomstvo fungovania sveta. Viera v matematiku naozaj vedie k tomu, že to, čo je matematicky popísané, sa automaticky považuje za správne a nezostreliteľné. Na začiatku majú tento pocit asi všetci. Ale verím, že na konci mojej prednášky tí, ktorí sú ochotní načúvať a premýšľať, už tento pocit nemajú.
.prečo by ho už nemali mať?
Napríklad preto, lebo im ukážem zlyhanie matematického modelu na jednom konkrétnom príklade, a to na príklade oceňovania opcií. V roku 1900 vymyslel Louis Bachelier prvý matematický model pre ceny akcií na parížskej burze. Išlo v podstate o Brownov pohyb a jedným z jeho nedostatkov bolo, že akcie v ňom mohli nadobúdať aj záporné ceny, čo nezodpovedá realite. V 60. rokoch upravil tento model Paul Samuelson na geometrický Brownov pohyb, pri ktorom sú ceny kladné a tento model sa stal akýmsi kanonickým modelom, na ktorom sa tie veci dodnes učia. V roku 1973 ukázali Fischer Black a Myron Scholes v rámci tohto modelu veľmi prekvapujúcu vec. V podstate išlo o to, že ak banky môžu robiť nepretržité obchody, dokážu predávať rôzne deriváty, ako sú opcie, bez akéhokoľvek rizika. Toto je výsledok, ktorý sa úplne prieči ekonomickej intuícii a Black mu preto nikdy neveril. A ja svojim študentom ukazujem, že tento výsledok je naozaj nezmyselný.
.ako to ukazujete?
Ide o to, že v skutočnosti sa ceny akcií nesprávajú tak, ako to predpokladá Samuelsonov model. Keď Samuelsonov model nahradíme niečím realistickejším, tzv. geometrickým Lévyho procesom, tak sa ukáže, že bezrizikové obchody pre banky neexistujú. Tam, kde v Black-Scholesovom modeli vychádza nulové riziko, dostaneme odrazu nenulové a nezanedbateľné riziko.
.ale nevznikne v študentoch dojem, že hľadaným svätým grálom je ten opravený model?
Nemal by, pretože ja nepredstieram, že my máme naozaj realistický model. Len im ukazujem, že výsledky sú citlivé na predpoklady. A ak trochu zmeníme predpoklady, môžu sa mi zásadne zmeniť výsledky.
.moment, ale nepoužívajú banky dodnes Black-Scholesov model pri oceňovaní finančných derivátov?
Bankám vyhovuje, ak nejaký matematický model tvrdí, že mnohé ich aktivity sú v podstate bezrizikové. Rizikové aktivity totiž znamenajú potrebu vytvárať kapitálové rezervy a kapitál je drahý. Každé oddelenie v banke má motiváciu bagatelizovať mieru rizika, ktoré podstupuje. Keď to krachne, tak škodu zaplatí daňový poplatník.
.toto vyzerá ako dokonalý príklad zhubného pôsobenia matematiky v ekonómii. Vznešene vyzerajúci matematický model je ospravedlnením nezodpovedného ekonomického správania.
Ale nemožno z toho viniť matematikov ani ekonómov. Black a Scholes len preskúmali vlastnosti modelu, ktorý bol vtedy veľmi populárny. A urobili to úplne poctivo. Rovnako my sa teraz snažíme byť vedecky poctiví, keď ukazujeme, že bezrizikovosť tohto modelu je z hľadiska reálneho sveta iluzórna.
.a toto zas vyzerá ako príklad terapeutických schopností matematiky, ktorá dokáže jasne identifikovať chybu v doterajšom myslení a pokúsiť sa ju opraviť. Mám to teda chápať tak, že zneužitie matematiky v ekonómii sa možno dá liečiť lepšou a poctivejšou matematikou?
To je, samozrejme, pravda, ale ono to ide hlbšie. Podľa mňa banky v zásade nepotrebujú takýto sofistikovaný matematický aparát. Ony by si to riziko nejakým spôsobom vedeli vyčísliť aj na kolene. Problém je v tom, že majú motiváciu celé riziko čo najlepšie schovať. A kým sa toto nevyrieši, tak investičný bankový sektor nemôže dobre fungovať.
.ale aby som sa vrátil k matematike: čo ak je to tak, že ani ten vylepšený model nepostihuje realitu dostatočne verne?
Podstatné je aby sa dôležité veličiny zachytili aspoň rádovo. V citovanom prípade sa z nulového rizika stalo významné nenulové riziko, na ktoré máme pomerne jednoduchý vzorec. Otvorená otázka je, či iné modely prinesú rádovo odlišné odhady tohto rizika. Tu sa výskum ešte neskončil.
.takže aká je vlastne úloha matematiky v ekonómii?
Vhodne použitá matematika prináša transparentnosť. Napríklad popis finančného derivátu je zložitý právnický dokument, kde je na niekoľkých stranách rozpísané slovne to, čo sa matematickým vzorcom dá napísať na jeden riadok. Matematika by však nemala byť samoúčelná. Predpovedanie vzdialenej budúcnosti pomocou matematických modelov nie je oveľa lepšie ako hádanie z vnútorností alebo kávovej usadeniny.
.a je teda matematika v ekonómii naozaj potrebná?
Najpotrebnejší je zdravý sedliacky rozum. Matematici sú schopní dodať aparát, ktorý môže modelové výpočty zrýchliť, zjednodušiť a prehľadne popísať. Sami vám však nepovedia, či ste nezabudli na niečo dôležité, na to potrebujete dobrého ekonóma.
Aleš Černý/
je slovenský finančný matematik. Doktorát z ekonómie získal na University of Warwick, sedem rokov prednášal na Imperial College London, v súčasnosti je profesorom na Cass Business School, City University London. S podporou programu „Hosťujúci profesor" Nadácie VÚB pôsobil v zimnom semestri akademického roku 2010/2011 na FMFI UK.
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.