.otázka z minulého týždňa
Traja domorodci zbierali na ostrove kokosové orechy. Večer sa im nechcelo deliť, tak sa dohodli, že sa rozdelia až ráno a ľahli si spať. V noci sa jeden zobudil a povedal si, že nebude čakať do rána a svoju časť si oddelí hneď. Všetky orechy rozdelil na tri rovnaké časti, jeden orech ostal navyše, tak ho zahodil do krovia. Svoju časť si vzal a schoval, zvyšné orechy dal na kopu a ľahol si spať. Potom sa zobudil druhý a urobil to isté, rozdelil orechy na tretiny a jeden orech, čo zostal, zahodil do krovia. To sa zopakovalo aj s tretím domorodcom. Ráno, keď vstali, tak si rozdelili ostávajúcu kopu na tri časti, pričom opäť jeden zostávajúci orech zahodili. Koľko najmenej bolo orechov na začiatku a koľko dostal každý domorodec pri poslednom delení?
.odpoveď
Úlohu budeme riešiť skusmo a odzadu. Začnime otázkou, či mohol každý domorodec dostať pri poslednom delení jeden orech. Ak áno, museli tam byť 4 orechy a to znamená, že tretí domorodec pri svojom nočnom delení našiel 7 orechov (premyslite si, že je to naozaj tak). Lenže druhý domorodec tam nemohol zanechať 7 orechov, pretože to by znamenalo, že on sám si zobral tri a pol orecha, čo nie je v súlade s textom úlohy.
To však znamená, že ráno dostal každý minimálne dva orechy. Ak dostal každý dva, potom ich tam ráno bolo sedem, ale to nie je možné. Dôvod je, samozrejme, rovnaký ako pred chvíľou. Nikdy sa nemôže stať, že niekto nechá na kôpke nepárny počet orechov.
No tak skúsme, že každý dostal ráno tri orechy. To znamená, že tretí ich tam nechal 10, to zas znamená, že druhý ich tam nechal 16, a to zas znamená, že prvý ich tam nechal 25, lenže to je nepárne číslo, takže nám to opäť nevyšlo.
Ak sme dosť trpezliví a pokračujeme až po sedmičku, zistíme, že tá je v poriadku. Ak dostal ráno každý 7 orechov, musel tam tretí nechať 22, druhý 34 a prvý 52 orechov (preverte, že je to naozaj tak). Všetko sú to párne čísla, takže to takto mohlo prebehnúť. Počet orechov, ktoré nazbierali, je v takomto prípade 79 (toto je síce nepárne číslo, ale celkom na začiatku mohol byť počet orechov nepárny – párny musí byť len po každom delení).
Úloha sa dá, samozrejme, riešiť aj pomocou rovníc, pri ktorých potom hľadáme celočíselné riešenia (takýmto rovniciam sa hovorí diofantické). Pôvodná úloha, ktorú vymyslel pred polstoročím Martin Gardner, sa týkala piatich domorodcov. Na jej riešenie treba naozaj tie rovnice, alebo veľmi veľa trpezlivosti. Kto je frajer, nech to skúsi.
.otázka na tento týždeň
Dá sa 16 bodov na obrázku pospájať jednou súvislou čiarou, ktorá sa skladá zo šiestich úsečiek?
Traja domorodci zbierali na ostrove kokosové orechy. Večer sa im nechcelo deliť, tak sa dohodli, že sa rozdelia až ráno a ľahli si spať. V noci sa jeden zobudil a povedal si, že nebude čakať do rána a svoju časť si oddelí hneď. Všetky orechy rozdelil na tri rovnaké časti, jeden orech ostal navyše, tak ho zahodil do krovia. Svoju časť si vzal a schoval, zvyšné orechy dal na kopu a ľahol si spať. Potom sa zobudil druhý a urobil to isté, rozdelil orechy na tretiny a jeden orech, čo zostal, zahodil do krovia. To sa zopakovalo aj s tretím domorodcom. Ráno, keď vstali, tak si rozdelili ostávajúcu kopu na tri časti, pričom opäť jeden zostávajúci orech zahodili. Koľko najmenej bolo orechov na začiatku a koľko dostal každý domorodec pri poslednom delení?
.odpoveď
Úlohu budeme riešiť skusmo a odzadu. Začnime otázkou, či mohol každý domorodec dostať pri poslednom delení jeden orech. Ak áno, museli tam byť 4 orechy a to znamená, že tretí domorodec pri svojom nočnom delení našiel 7 orechov (premyslite si, že je to naozaj tak). Lenže druhý domorodec tam nemohol zanechať 7 orechov, pretože to by znamenalo, že on sám si zobral tri a pol orecha, čo nie je v súlade s textom úlohy.
To však znamená, že ráno dostal každý minimálne dva orechy. Ak dostal každý dva, potom ich tam ráno bolo sedem, ale to nie je možné. Dôvod je, samozrejme, rovnaký ako pred chvíľou. Nikdy sa nemôže stať, že niekto nechá na kôpke nepárny počet orechov.
No tak skúsme, že každý dostal ráno tri orechy. To znamená, že tretí ich tam nechal 10, to zas znamená, že druhý ich tam nechal 16, a to zas znamená, že prvý ich tam nechal 25, lenže to je nepárne číslo, takže nám to opäť nevyšlo.
Ak sme dosť trpezliví a pokračujeme až po sedmičku, zistíme, že tá je v poriadku. Ak dostal ráno každý 7 orechov, musel tam tretí nechať 22, druhý 34 a prvý 52 orechov (preverte, že je to naozaj tak). Všetko sú to párne čísla, takže to takto mohlo prebehnúť. Počet orechov, ktoré nazbierali, je v takomto prípade 79 (toto je síce nepárne číslo, ale celkom na začiatku mohol byť počet orechov nepárny – párny musí byť len po každom delení).
Úloha sa dá, samozrejme, riešiť aj pomocou rovníc, pri ktorých potom hľadáme celočíselné riešenia (takýmto rovniciam sa hovorí diofantické). Pôvodná úloha, ktorú vymyslel pred polstoročím Martin Gardner, sa týkala piatich domorodcov. Na jej riešenie treba naozaj tie rovnice, alebo veľmi veľa trpezlivosti. Kto je frajer, nech to skúsi.
.otázka na tento týždeň
Dá sa 16 bodov na obrázku pospájať jednou súvislou čiarou, ktorá sa skladá zo šiestich úsečiek?
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.