Zdá sa, že máte zablokovanú reklamu

Fungujeme však vďaka príjmom z reklamy a predplatného. Podporte nás povolením reklamy alebo kúpou predplatného.

Ďakujeme, že pozeráte .pod lampou. Chceli by ste na ňu prispieť?

O Erdősovi a matematickom svete

.peter Horák .časopis .fenomén

Dňa 20. septembra to bolo 11 rokov, čo zomrel jeden z desiatky najlepších matematikov 20. storočia Paul Erdős. Spomienkové články sa píšu pri okrúhlych výročiach, avšak Erdősovou najväčšou láskou boli prvočísla...

Dňa 20. septembra to bolo 11 rokov, čo zomrel jeden z desiatky najlepších matematikov 20. storočia Paul Erdős. Spomienkové články sa píšu pri okrúhlych výročiach, avšak Erdősovou najväčšou láskou boli prvočísla...


Paul Erdős sa narodil 26. marca 1913 v Budapešti do židovskej rodiny stredoškolských učiteľov matematiky. V ten deň jeho dve sestry, troj- a päťročná, dostali šarlach a zomreli v priebehu 24 hodín. Hoci ho rodičia považovali za najmenej nadaného z troch súrodencov, Paul bol zázračné dieťa: už v troch rokoch ohuroval schopnosťou vynásobiť v hlave trojmiestne čísla. Často s hrdosťou spomínal, ako štvorročný sám „objavil“ záporne čísla i to, ako s nimi treba počítať.
Keďže sa jeho rodičia báli, aby neochorel, pred univerzitou do školy nikdy pravidelne nechodil. Napriek tomu mal už vo veku 20 rokov PhD. Avšak Erdős bol v matematickej komunite doslova uctievaný najmä pre niečo iné.

.cestovateľ
K matematike má vyhranený vzťah takmer každý: väčšina ľudí sa k nej stavia skôr negatívne, zvyšok ju má rado. Napriek tomu takmer všetci považujú matematiku za mŕtvu vedu, kde sú už všetky vzorce a poučky známe. Dobrý matematik je podľa tejto predstavy ten, kto vie rýchlo vyriešiť všetky problémy zo zbierky úloh. Pravda je však úplne inde.
V súčasnosti sa matematika rozvíja tak intenzívne ako nikdy predtým. Ročne sa v matematických časopisoch uverejní vyše stotisíc nových teorém (vzorcov a poučiek). Každý novy výsledok síce zodpovie nejakú otázku, zároveň však nastolí dva, tri nové. Pri hodnotení matematika je počet publikovaných prác len pomocným kritériom, ale kvantita obyčajne hovorí niečo aj o kvalite. Asi 99 percent matematikov vrátane najlepších uverejní za života do 100 vedeckých článkov. Erdős ich publikoval vyše 1 500, so 450 spoluautormi. (V rámci toho vznikla medzi matematikmi hra, ktorú niektorí berú vážne. Každý, kto publikoval spoločný článok s Erdősom, ma Erdősovo číslo jedna. Ti, čo majú článok s niekým, kto ma Erdősovo číslo jedna, majú Erdősovo číslo dva. Ak publikujete článok s niekým, kto ma Erdősovo číslo dva, dostanete Erdősovo číslo tri atď. Samozrejme, cieľ je mať čo najmenšie Erdősovo číslo.)
Ešte ohromujúcejšia bola šírka Erdősovho záberu. Matematika sa dnes delí na 40 základných odborov, z ktorých ma každý mnoho pododborov (teória čísiel, lineárna algebra, kódovanie atď.) Väčšina ľudí publikuje práce v dvoch, troch pododboroch jednej disciplíny. Erdős publikoval články v 17-tich z daných 40 odborov.
Je dané charakterom  matematiky, že vedeckým prínosom môže byť aj krátkodobá intenzívna spolupráca na otvorených problémoch. Preto sa matematici často navštevujú a stretávajú na konferenciách. Tisíce matematikov trávi 2 až 4 mesiace do roka cestovaním po svete: viac im ich univerzita a manželka nedovolia.
S Erdősom sa však v tomto ohľade nemohol porovnať nik. Niektorý rok trávil Erdős, ktorý mal  163 centimetrov a 50 kíl, a navonok vyzeral vetcho a chorľavo, cestovaním po konferenciách a univerzitách 11 mesiacov v roku. Mohol si to dovoliť, lebo nemal žiadne stále zamestnanie (ale ani stály príjem!)
Medzi jednotlivými pobytmi sa nevracal domov (do Budapešti), ako to robia ostatní, ale išiel priamo z jednej univerzity na ďalšiu, z konferencie na sympózium. Presúval sa ďalej, keď už po intelektuálnej aj fyzickej stránke totálne vyčerpal domácich, čo trvalo 3 až 14 dní.
Vždy sa však našlo niekoľko univerzít, kde ho vďačne privítali ohláseného na poslednú chvíľu. Najlepší spôsob presvedčiť ho, aby prišiel, bolo zatelefonovať mu, aké čiastočné výsledky máte pri riešení dôležitého problému. Výška ponúkaného honoráru pritom nikdy nehrala rolu. Ľuďom nevadilo, že mať Erdősa ako hosťa znamenalo kompletne sa oňho postarať: priviezť a odviezť ho na letisko, starať sa o jeho jedlo, prať bielizeň, baliť mu kufor, ustlať mu posteľ. A postarať sa o zaplatenie letenky, honoráru a hotelu alebo, čo on uprednostňoval, si ho zobrať k sebe domov. Prečo to toľko ľudí bolo ochotných robiť a čím sa Erdős odplatil?

.rýdzi génius
Erdős bol protipólom vedeckej primadony. Počas svojho pobytu bol ochotný spolupracovať s každým, či už uznávaným odborníkom, alebo začínajúcim študentom. Bol k dispozícii tak dlho, pokiaľ daný človek nevyčerpal svoje nápady alebo stačil sledovať jeho myšlienky. Hovoril o nových hypotézach, podelil sa so všetkým, čo o ich riešení vedel. Jemu bolo jedno, či problém vyrieši on, alebo ho niekto pred cieľovou páskou predbehne. Chcel, aby sme sa dozvedeli pravdu.
Erdős dokázal preniesť na ľudí aj svoju vášeň k matematike. Nebol táborový rečník, ktorý strhne dav svojím prejavom. Hovoril tichým hlasom, ktorý nikdy nezvyšoval, so silným prízvukom. Napriek tomu intelektuálne elektrizoval okolie.

Počas jeho návštevy to vrelo, každý venoval matematike viac hodín ako zvyčajne. Dal, samozrejme, prednášku. Hlavne však bol doslova 24 hodín denne pripravený spolupracovať s miestnymi ľuďmi. Nebol najmenší problém zobudiť ho o tretej ráno, a podeliť sa s ním o najnovší nápad ako atakovať problém, na ktorom ste práve spolupracovali. Ihneď o tom začal premýšľať a komentovať to.  Na druhej strane musel byt hostiteľ pripravený, že Erdős o druhej ráno bez zaklopania vojde do jeho manželskej spálne a začne mu vysvetľovať svoj nápad. On sa tváril, že v spálni sa nedá robiť nič iné ako matematika.
V roku 1971 zomrela vo veku 91 rokov Erdősova matka, ktorá ho posledných 7 rokov života sprevádzala na všetkých cestách. Nemala cestovanie rada, po anglicky vedela iba pár slov, ale chcela byť pri synovi. Erdős jej to oplácal láskou, akú je iba málokedy vidieť u syna voči matke. Nikdy sa z jej smrti úplne nespamätal. Riešil to tým, že sa stal matematickým mníchom. Okrem matematiky ho zaujímalo málo vecí, najviac svetová politika a vážna hudba. Hoci sa to zdalo nemožné, ešte vystupňoval pracovné tempo. Denne venoval matematike aj 20 hodín. To však zvládal iba za pomoci amfetamínov. Takto fungoval do konca života.
Prehnaná starostlivosť rodičov mala za následok, že Erdős si prvýkrát sám uviazal topánky, keď mal 11 rokov a chlieb si natrel ako 21-ročný. Tvrdil, že by určite vedel uvariť čaj a vajce natvrdo. Nikdy to však neskúsil. Hoci bol vynikajúci riešiteľ matematických problémov, mal ťažkosti pri riešení bežných životných situácii. Ralph Faudree spomína, že pri jednej z Erdősovych návštev u nich sa spustila prudká búrka. Erdős vošiel v noci do ich spálne a oznámil im, že v jeho izbe sa voda leje dovnútra cez otvorené okno, a že by s tým mali niečo robiť. Nebol typ človeka, ktorý nevie, koľko stojí chlieb, on ani nevedel, kde sa chlieb kupuje. Život ho k tomu nedonútil. Presnejšie povedané, on nepripustil, aby ho život k tomu donútil. Rýdzi génius.

.stretnutia
Erdősa som prvýkrát stretol v roku 1980, po obhájení vedeckej ašpirantúry. Erdős sa cestou do Budapešti zastavil na pár hodín v Bratislave. Akademik Schwartz a môj školiteľ profesor Znam ma prizvali, aby som išiel s nimi na večeru. Erdős sa mi predstavil, akoby bol úplne neznámy človek, a nie hviezda najväčšej veľkosti. Potriasol som si s ním rukou, čo bol môj jediný príspevok k zaujímavému rozhovoru pri stole.
Zhodou okolností prišiel Erdős za krátky čas do Bratislavy znova. Znova sa mi predstavil. Bolo zrejmé, že ak ho chcem naučiť moje meno, bude treba zabudnúť na tradície a začať usilovne robiť. Cely zvyšok rozhovoru už patril matematike. Erdős sa ma pýtal, na akých matematických otázkach  pracujem, ale hlavne hovoril o hypotézach, ktoré sformuloval a považoval za dôležité vyriešiť. Podľa mojich otázok a komentárov uberal alebo pridával na obtiažnosti. Oťukával, ako ďaleko môže zájsť. Mal som veľké šťastie a v priebehu roka, po vynaložení veľkého úsilia, sa mi podarilo vyriešiť tri z hypotéz, ktoré Erdős spomenul. To zároveň vyriešilo aj problém, aby si Erdős zapamätal moje meno.
Po kratšom čase som bol pozvaný na svoj prvý pobyt v severnej Amerike. Nebolo nič lepšie, ako sa tam uviesť prednáškou o riešení Erdősových problémov. Dvere do sveta sa mi začali vďaka Erdősovi otvárať: ešte počas tohto pobytu som dostal pozvanie predniesť prednášku na dvoch univerzitách v Kanade.
Riešenie Erdősových problémov malo aj nematematické dôsledky. Počas môjho ďalšieho pobytu v USA som navštívil Havajské ostrovy a chcel som sa tam vrátiť. Jediná schodná cesta bola dostať miesto na University of Hawaii v Honolulu. Podarilo sa mi to len preto, lebo som netušil, že spôsob, ako som na to išiel, nemá nádej na úspech. Tak ako Fidel Castro išiel s 80 spolubojovníkmi dobyť Kubu. Tiež mu to vyšlo len preto, že si neuvedomoval, že s danou posádkou nemá najmenšiu šancu. Neznalý, ako to chodí vo veľkom matematickom svete, som sa ohlásil u vedúceho katedry matematiky. Po potrasení rúk som povedal, že som vyriešil tri Erdősove problémy a či môžem u nich dostal miesto hosťujúceho profesora. Erdősovo meno opäť zabralo. 

.ambícia
V roku 1994 som mal Erdősa doma na návšteve tri dni, dlhšie som ho nedokázal intelektuálne utiahnuť. Prišli sme o 11-tej večer. Po príchode si umyl ruky (robil to denne aspoň dvadsaťkrát) a vyhlásil okrídlené „My brain is open”. Začal som okato zívať. Erdős si to nevšímal a začal mi vysvetľovať matematický problém. Okolo druhej ráno som si išiel dať studenú sprchu. Šťastie stálo pri mne a pod sprchou som dostal nápad, ktorý viedol k riešeniu problému a vďaka ktorému som bol o pol hodiny v posteli. Žiaľbohu, trik so sprchou už potom nikdy nevyšiel.
Druhý deň o šiestej Erdős chodil po kuchyni a robil „nenápadne” hluk. Chvíľu ho manželka zamestnala raňajkami, ale potom som už musel čeliť realite. Posledný deň sme, samozrejme, pracovali a poobede ma Erdős požiadal, aby som mu zbalil kufor.
Po jeho odchode som výsledky našej práce som spísal do článku. V tom čase som už mal Erdősovo číslo jedna, ale toto mohol byť článok, na ktorom by sme boli jediní dvaja spoluautori. Čoskoro sa však ukázalo, že veľmi podobné výsledky boli nedávno zverejnené niekým iným, a publikovať článok už nedávalo zmysel.
Erdősovu návštevu som využil aj na nematematické debaty. János Seley, po ktorom je nazvaná univerzita v Komárne, v jednej svojej knihe napísal: „Spevák populárnej hudby chce uznanie davu. A čím väčší je dav, tým lepšie. Avšak vedec chce uznanie piatich ľudí a, samozrejme, vie ich mená”.
Povedal som to Erdősovi a spýtal sa ho, kto je na jeho zozname piatich. Vyhýbavo odpovedal, že ho teší uznanie každého dobrého matematika. Po chvíli to vzdal a povedal: „To vôbec nie je dôležité. Záleží jedine na tom, či si ľudia budú pamätať moje matematické výsledky aj po 500 rokoch.“ V tej chvíli som si jasne uvedomil jednu vec: Erdős bol jediný medzi mojimi známymi,  ktorý oprávnene môže mať takúto ambíciu.
Na mojom zozname piatich bolo v tom čase Erdősovo meno päťkrát. Preto nasledujúcu udalosť považujem za najväčšie ocenenie v mojom matematickom živote.
V roku 1995 som sa stretol s Erdősom poslednýkrát. Bolo to na konferencii v Prahe. Vtedy už veľmi nechodil na prednášky, a väčšinu čašu strávil na chodbe pred prednáškovou miestnosťou pri práci na otvorených problémoch s inými matematikmi. Keď som už stál pri tabuli, pripravený predniesť svoj príspevok, jeden z organizátorov konferencie poprosil o chvíľu strpenia a povedal: „Profesor Erdős ma požiadal, aby som ho zavolal na Horákovu prednášku.“ Celá konferencia počkala, než sa v tom čase 82-ročný Erdős pomalým, a neistým krokom presunul z chodby do sály. Prednášku som ukončil formuláciou hypotézy o známom invariante. Na to Erdős poznamenal: „Budem o tom probléme premýšľať.“ To bola cukrová poleva na mojej najkrajšej torte.

.čo je dôležité
Erdős hovoril, že majetok je na obtiaž a podľa toho sa aj správal. Celé jeho vlastníctvo sa vošlo do kufríka, s ktorým cestoval po svete. Bolo v ňom par súprav spodnej bielizne, pyžamo a pár košieľ, všetko ručne šité a z pravého hodvábu. Okrem toho sveter  a zvyšok kufra zapĺňala odborná literatúra. Mal jedny sandále a vzhľadom na ploché nohy a slabé šľachy aj vysoké šnurovacie ručne šité topánky, módne v roku 1935.  Vždy nosil oblek, a občas miesto košele pyžamový vršok.
Posledných 30 rokov bola Erdősovým jediným istým príjmom malá suma, ktorú dostával ako člen Maďarskej akadémie vied v čase, keď sa zdržiaval v Budapešti. (Vtedy býval v hosťovskej izbe akadémie.)
Temer všetky peniaze, ktoré dostal ako honoráre za prednášky alebo ako súčasť rôznych cien, rozdal. Či už na charitu, alebo malej rozhlasovej stanici vysielajúcej vážnu hudbu, ktorá stála pred bankrotom, na podporu lekárskeho výskumu, nadaným študentom, ktorí mali finančné problémy atď. Nikdy neobišiel bezdomovca bez toho, aby mu dal nejaké peniaze.  Keď dostal prestížnu Wolfovu cenu, ktorej súčasťou je 50-tisíc dolárov, nechal si iba 720 a zvyšok dal nadácii pre študentov. Zvláštnu náklonnosť mal k mimoriadne nadaným deťom. Brával ich na obed o hovoril s nimi o matematike.
Erdős nedbal na svetské statky, ale pri veciach, ktoré sa týkajú osobnej slobody a slobody názoru, bol neústupný. Po kolapse Maďarskej republiky rád, keď bol jeho otec ešte stále v sovietskom zajatí, sa jeho matka obávala protižidovských represií a navrhla synovi, aby sa dali pokrstiť. Hoci mal Erdős iba šesť rokov, povedal jej, aby urobila, čo uzná za vhodné, ale on ostane tým, čím sa narodil.
Nebol ochotný na kompromis ani pri rokovaní s úradmi. Hoci bol skutočne doma iba v Budapešti, do Maďarska nevkročil po celých 10 rokov, pokiaľ sa mu maďarské úrady neospravedlnili za to, že neudelili víza niekoľkým izraelským matematikom, čím im znemožnili účasť na konferencii pri príležitosti Erdősových narodenín.

.do konca
Erdős sa často sťažoval, že je starý. Smrti sa však nebál. Jeho obava bola, že vekom sa zmenšia jeho matematické schopnosti a že doslova ohlúpne. Keď sa jeho zdravie začalo zhoršovať, bral to tak, že to ide s vekom. Raz mu spadli okuliare na zem tak, že sa na nich rozbilo jedno sklo. On si ich opätovne nasadil a povedal: „Na to oko už aj tak nevidím.“ Problém s okom donútil Erdősových priateľov konať za neho. Zariadili, že v univerzitnej nemocnici v Memphise mu budú transplantovať rohovku. Pred operáciou doktor Erdősovi podrobne vysvetlil procedúru, ktorá trvá asi dve hodiny. Erdős sa doktora opýtal, či bude môcť čítať. Samozrejme, odpovedal doktor; veď to bol zmysel operácie. Keď v operačnej miestnosti stíšili svetlá, Erdős bol vyvedený z miery a pýtal sa, prečo to urobili. Chirurg vysvetľoval, že iba takto môže operovať. „Ale veď ste mi sľúbili, že budem môcť čítať,“ namietal Erdős. „Budem mať umŕtvené iba jedno oko, prečo s tým druhým nemôžem pozerať matematicky časopis?” Keď nebol ochotný ustúpiť, chirurg na hranici zúfalstva telefonoval na katedru matematiky, aby okamžite poslali niekoho, kto sa bude s Erdősom počas operácie rozprávať o matematike.
Erdősovo srdce na tom však nebolo oveľa lepšie ako oči. Chip Ordman spomína, ako prišiel Erdősa navštíviť do nemocnice v Budapešti, kde ležal po menšom infarkte. Všade po izbe, aj v posteli boli stohy matematických časopisov a článkov. Erdős simultánne pracoval na matematickom probléme s troma skupinami ľudí. S jednými sa rozprával po maďarsky, s ďalšou skupinou po nemecky a s poslednou po anglicky. Zároveň konverzoval s návštevou.
Do tohto blázinca vošiel lekár. Erdős ho rázne požiadal, aby prišiel o par hodín, lebo predsa vidí, že teraz pracuje. Lekár bez slova uposlúchol.
Môj priateľ Zsolt Tuza z Maďarskej akadémie vied bol posledný, kto videl Erdősa živého. Bolo to počas konferencie vo Varšave. Po večeri išiel odprevadiť Erdősa na izbu a ustlal mu posteľ. Erdős navrhol, aby si sadli, a robili ešte chvíľu matematiku. O 40 rokov mladší Tuza sa ospravedlnil Pali báčimu, že je už neskoro, že je unavený a že môžu pokračovať ráno. Erdős v noci zatelefonoval na recepciu, že sa cíti zle. Pokiaľ prišli na jeho izbu, bolo po ňom. Jeho jediná obava sa teda nenaplnila. Doslova do poslednej chvíle robil matematiku. Skvelú matematiku.
Pre nematematikov bol Erdős excentrikom a pri pohľade zvonka tak asi aj skutočne vyzeral. Ale ako vravieval Hemingway: „Blázni sú bláznami len preto, lebo nás je viacej.“

Autor je matematik, pôsobí na University of Washington.

Mozog a Kniha
Erdős mal svoj slovník, ktorý bol medzi matematikmi veľmi dobre známy. Spomeniem iba dve najslávnejšie frázy. Prvá bola „My brain is open”. Rád spomínal historku, keď si koncom 19. storočia dvaja ludia súčasne všimli, že rádioaktívny materiál zanechá stopy na fotografickej doštičke. Prvý vystríhal vedeckú komunitu, aby si takto neznehodnotili drahý fotograficky materiál (jeho mozog nebol otvorený), a jeho meno si už nikto nepamätá. Druhý sa volal Röntgen. Erdős, ktorý v mladosti taktiež prehliadol veľký objav, tým chcel povedať, že sa mu to už nestane.
Druhou fáazou bola „This is straight from The Book”.  Erdos „veril” v existenciu Knihy, v ktorej su napísané všetky jednoduché a elegantné dôkazy matematických teorém. Napriek tomu, že bol ateista, hovorieval, ze občas nám Pánboh dovolí do nej na chvíľočku nazrieť. Táto fráza bola najvyššou pochvalou, akú sa dalo od Erdősa dostať.
Počas môjho pobytu na Simon Fraser University sme s Kathy Heinrich ako vedľajší produkt iného bádania našli nový dôkaz malej Fermatovej vety. Tento dôkaz bol „elementárny” v Erdősovom zmysle. Nezatelefonoval som Erdősovi o dôkaze, lebo som chcel byť osobne pritom, keď povie okrídlenú frázu o Knihe. Pri najbližšom stretnutí ma pozorne vypočul a namiesto očakávaného povedal: Mne sa dôkaz cez kongruencie páči viacej. To bol koniec mojej krátkej cesty ku sláve. Dôkaz bol síce publikovaný v najčítanejšom matematickom časopise, American Math. Monthly, ale bola to malá náplasť.
Ak ste našli chybu, napíšte na web@tyzden.sk.
.diskusia
.neprehliadnite